Modelos de aguas poco profundas obtenidos mediante la técnica de desarrollos asintóticos

Abstract

[Resumen] Clásicamente las ecuaciones de aguas poco profundas se obtienen a partir de las ecuaciones de Euler o Navier-Stokes mediante ciertas hipótesis simplificadoras. Dichas hipótesis no siempre están debidamente justificadas, lo que conduce a gran variedad de modelos, sin que resulte claro cuál de ellos es el “mejor”. En esta tesis se obtienen, utilizando el método de desarrollos asintóticos, diferentes modelos de aguas someras con y sin viscosidad de una forma rigurosa y sin realizar las usuales hipótesis a priori.

Para aplicar el método de desarrollos asintóticos, identificamos un pequeño parámetro adimensional (relacionado con la profundidad del dominio) y realizamos un cambio de variable a un dominio independiente de ese parámetro. Suponemos que la solución de las ecuaciones de partida admite un desarrollo en serie de potencias del pequeño parámetro, calculamos los primeros términos de dicho desarrollo, construimos una aproximación de la solución a partir de esos términos y deshacemos el cambio de variable, obteniendo un modelo de aguas someras.

Los modelos propuestos suponen una mejora respecto a los modelos que se encuentran en la literatura en el sentido de que el modelo sin viscosidad incorpora una dependencia de la profundidad en la velocidad horizontal, si la vorticidad es no nula, que permite aproximar mejor las ecuaciones de Euler y el modelo viscoso incorpora un nuevo término de viscosidad justificado mediante el método de desarrollos asintóticos y numéricamente.

[Resumo] Clasicamente as ecuacións de augas pouco profundas obtéñense a partir das ecuacións de Euler ou Navier-Stokes mediante certas hipóteses simplificadoras. As devanditas hipóteses non sempre están debidamente xustificadas, o que conduce a unha grande variedade de modelos, sen que resulte claro cal deles é o “mellor”. Nesta tese obtéñense, utilizando o método de desenvolvementos asintóticos, diferentes modelos de augas someras, con e sen viscosidade, dunha forma rigorosa e sen realizar as usuais hipóteses a priori.

Para aplicar o método de desenvolvementos asintóticos, identificamos un pequeno parámetro adimensional (relacionado coa profundidade do dominio) e realizamos un cambio de variable a un dominio independente dese parámetro. Supoñemos que a solución das ecuacións de partida admite un desenvolvemento en serie de potencias do pequeno parámetro, calculamos os primeiros termos do devandito desenvolvemento, construímos unha aproximación da solución a partir deses termos e desfacemos o cambio de variable, obtendo un modelo de augas someras.

Os modelos propostos supoñen unha mellora respecto ós modelos que se encontran na literatura no sentido de que o modelo sen viscosidade incorpora unha dependencia da profundidade na velocidade horizontal, se a vorticidade é non nula, que permite aproximar mellor as ecuacións de Euler e o modelo viscoso incorpora un novo termo de viscosidade xustificado mediante o método de desenvolvementos asintóticos e numericamente.

[Abstract] Classically the shallow water equations have been obtained from the Euler or Navier-Stokes equations under several simplifying hypotheses. These hypotheses do not always have enough justification, and that leads to a great variety of models, not being clear which of them is the “best one”. In this thesis we obtain, using asymptotic analysis, different shallow water models with and without viscosity in a rigorous way and without imposing the usual a priori hypothesis.

To apply the asymptotic method, we identify a small adimensional parameter (related with the depth in the domain) and we make a change of variable to a domain independent of that parameter. We suppose that the solution of the equations we take as starting point admits an expansion in powers of the small parameter, we calculate the first terms of that expansion, we build an approximation of the solution using those terms and we undo the change of variable, getting a shallow water model.

The proposed models mean an improvement respect to the models that can be found in the literature in the sense that the model without viscosity incorporates a dependency on the depth in the horizontal velocity, if the vorticity is not zero, that allows to obtain a more accurate approximation of the Euler equations and the model with viscosity incorporates a new viscosity term justified by the asymptotic expansions technique and numerically too.