Interaction of multiphase fluids and solids: theory, algorithms and applications

Abstract

[Abstract]

The work presented in this thesis is devoted to the study and numerical simulation of Fluid-Structure Interaction (FSI) problems involving complex uids. The nonlinear and time dependent nature of FSI problems makes the analytical solution very difficult or even impossible to obtain, requiring the use of experimental analysis and/or numerical simulations. This fact has prompted the development of a great variety of numerical models for the interaction of uids and solid structures. However, most of the efforts have been focused on classical uids governed by the Navier-Stokes equations, which cannot capture the physical mechanisms behind complex uids. Here, we try to fill this gap by proposing several models for the interplay of solids and multi-phase or multi-component

ows. The proposed models are then applied to particular problems that spark interest in fields, such as engineering, microfabrication and chemistry. In this work, the behavior of the structure is described by the nonlinear equations of elastodynamics and treated as an hyperelastic solid. Two different constitutive theories are employed, a Neo-Hookean model with dilatational penalty and a Saint Venant-Kirchhoff model. The description of complex uids is based on the diffuse-interface or phase-field method. In particular, two approaches are adopted. The first one is based on the Navier- Stokes-Korteweg equations, which describe compressible uids that are composed by two phases of the same component that may undergo phase transformation, such as water vapor and liquid water. We use this model to study the in uence of surface active agents in droplet coalescence and show that droplet motion may be driven by strain gradients -tensotaxis- of the underlying substrate. We also show several problems of phase-changedriven implosion, in which a thin structure collapses due to the condensation of a uid. The second approach is based on the Cahn-Hilliard model, which we couple with the incompressible Navier-Stokes equations. We adopt an stabilization based on the residualbased variational multiscale formulation. This results in a model that describes twocomponent immiscible ows with surface tension. The potential of this model is illustrated by solving several elastocapillary problems in two and three dimensions including capillary origami, the static wetting of soft substrates and the deformation of micropillars As FSI technique, we adopt a moving mesh or boundary-fitted approach with matching discretization at the uid-structure interface. This choice permits to strongly impose the kinematic compatibility conditions and results in more accurate solutions at the uid-solid interface. In particular, we use the Lagrangian description to derive the semi-discrete form of the solid equations and the Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) description for the

uid domain. This means that the uid mesh needs to be updated to accommodate the motion of the structure. For this purpose, we solve an additional linear elasticity problem subject to displacement boundary conditions coming from the motion of the solid. For the spatial discretization of the solid and uid domains, we adopt Isogeometric Analysis (IGA) based on Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS), a generalization of the finite-element method that posseses higher-order global continuity and allows for a more precise geometric representation of complex objects. Regarding the time integration, we use a generalized-[alfa] scheme. The nonlinear system of equations is solved using a Newton-Raphson iteration procedure, which leads to a two-stage predictor-multicorrector algorithm. The resulting linear system is solved using a preconditioned GMRES method. A quasi-direct monolithic formulation is adopted for the solution of the FSI problem, that is, the fluid and solid equations are solved in a coupled fashion, while the mesh motion is solved separately using as input, data from the fluid-solid solve.

[Resumen] El trabajo presentado en esta tesis está destinado al estudio y simulación numérica de problemas de interacción fluido-estructura (FSI de sus siglas en inglés) que involucran fluidos complejos. La naturaleza no lineal y dependiente del tiempo de lm; problemas FSI hace que su solución analítica sea muy difícil o incluso imposible de obtener, requiriendo el uso del análisis experimental yjo de simulaciones numéricas. Este hecho ha impulsado el desarrollo de una gran variedad de modelos numéricos para la interacción de fluidos y estructuras sólidas. Sin embargo, la mayoría de los esfuerzos se han centrado en fluidos clásicos gobernados por las ecuaciones de Na.vier-Stokes, las cuales no so11 capaces de capturar los mecanismos físicos detrás de los fluidos complejos. En este trabajo, intentamos rellenar ese hueco proponiendo varios modelos para la interacción de sólidos y fluidos multifase y multicomponente. Los modelos propuestos son aplicados a problemas particulares que desatan gran interés en campos como la ingeniería, la microfabricación y la química. En este trabajo. el comportamiento de la estructura está descrito por las ecuaciones de la elastodinámica no lineal y es tratado como un sólido hiperelástico. Se emplean dos teorías constitutivas diferentes, un modelo Neo-Hookeauo y un modelo Saint Venant. La descripción de los fluídos complejos está basada en el método de los campos de fase o método de interfaz difusa. En concreto, se adoptan dos técnicas diferentes. La primera se basa en las ecuaciones de Navier-Stokes-Korteweg, las cuales describen fluidos compresibles que están compuestos por dos fases de un mismo componente como, por ejemplo, agua líquida y vapor de agua. Usamos este modelo para estudiar el papel de los tensoactivos en la coalescencia de gotas y mostrar que el movimiento de gota.." puede desencadenarse por gradientes de deformación -tensotaxis- del substrato en el que se apoyan. Mostramos también varios ejemplos de implosión accionada por cambios de fase. en la cual una estructura delgada colapsa debido a la condensación de un fluido. La segunda técnica se basa en el modelo de Cahn-Hilliard, el cual acoplamos con las ecuaciones de Navicr-Stokes incompresibles. En este modelo adoptamos una estabilización basada en la formulación variacional multiescala. Esto resulta en un modelo que describe flujos inmiscibles de dos componentes con tensión superficial. Ilustramos el potencial de este modelo resolviendo varios problemas de elastocapilaridad en dos y tres dimensiones incluyendo origamis por capilaridad, la deformación estática de substratos blandos con gotas o la deformación de micropilares. Corno técnica FSI, adoptamos un método de malla móvil con discretización compatible en la interfaz sólido-fluido. Esta elección permite imponer de forma fuerte las condiciones de compatibilidad cinemática y da lugar a resultados más precisos cerca de la interfaz sólido-fluido. En concreto, usamos una descripción Lagrangiana para derivar la forma semidiscreta de las ecuaciones del sólido y una descripción Arbitraria LagrangianaEuleriana (ALE) para el dominio del fluído. Esto significa que la malla del fluido tiene que ser actualizada para acomodar el movimiento de la estructura. Con este propósito resolvemos un problema adicional de elasticidad lineal en el que las condiciones de contorno son los desplazamientos procedentes del movimiento del sólido. Para la discretización espacial tanto del dominio del sólido como del fluído, adoptamos Análisis Isogeométrico (IGA) basado en E-Splines racionales no uniformes (NURBS), una generalización del método de elementos finitos que posee continuidad global de alto orden y que permite una representación geométrica más precisa de objetos complejos. En lo que respecta a la integración temporal, usamos un esquema alfa generalizado. El sistema no lineal de ecuaciones se resuelve usando un método de Newton-Raphson iterativo, que lleva a un algoritmo de dos fases predictor-multicorrector. El sistema lineal resultante es resuelto mediante un método GtviRES precondicionado. Se adopta además una formulación monolítica para la solución del problema FSI, esto es, las ecuaciones del fluido y del sólido se resuelven de manera acoplada mientras que el movimiento de la malla se resuelve separadamente, usando como input los datos del resolvedor sólido-fluido.

[Resumo] O traballo presentado nesta tese e~tá destinado ó estudo e simulación numérica de problemas de interacción fluído-estrutura (FSI nas súas siglas en inglés) que involucran fluídos complexos. A natureza non lineal e dependente do tempo deste tipo de problemas fai que a súa solución analítica sexa moi difícil ou mesmo imposible de conseguir, esixindo o uso de análiscs experimentais e / ou simulacións numéricas. Este feíto levou ó desenvolvemento dunha gran variedade de modelos numéricos para a interaccióu de fluídos e estruturas sólidas. Con todo, a maioría dos esforzos concentráronse en fluídos clásicos gobernados palas ecuacións de N avier-Stokes. as cales non son capaces de capturar os mecanismos físicos detrás dos fluídos complexos. N esta tese tratamos de encher este burato propoñendo modelos para a interacción de sólidos e líquidos multifase e multicompoñente. Os modelos propostos son aplicados a problemas específicos que espertan gran interese en campos como a enxeñería, a microfabricación e a química. Neste trahallo o comportamento da estrutura está descrito polas ecuacións da clastodinámica non lineal e é tratada como un sólido hiperelástico. Usamos dúas teorías constitutivas diferentes: un modelo Neo-Hookeano e un modelo Saint Venant. A descrición do fluído complexo baséase no método de campos de fase ou método de interfaz difusa. En concreto, adóptanse dúas técnicas diferentes. A primeira baséase nas ecuacións de Navier-Stokes-Korteweg, que describen fluídos compresibles que están compostos de dúas fases dun único compoiiente, por exemplo, auga líquida e vapor de auga. Utilizamos este modelo para estudar o papel dos axentes tensoactivos na coalescencia de gotas e demostrar que o movemcnto de gotas pode ser desencadeado mediante gradientes de deformación do substrato no que se apoian -tensotaxe-. Tamén se mostran varios exemplos de implosión inducida por cambios de fase, no que unha estrutura fina colapsa pala condensación dun fluído. A segunda técnica está bascada no modelo de Cahn-Hilliard, o calé acoplado coas ccuacións de Navier-Stokes. Neste modelo adoptamos unha estabilización baseada na formulación variacional multiscala. Isto resulta mm modelo que describe fluxos inmiscibles de dous compoñentes con tensión superficial. Ilustrarnos o potencial deste modelo resolvendo varios problemas de elastocapilaridade en dúa.'i e tres dimensións, incluíndo origamis por capilaridade, a deformación estática de substratos brandos con gotas ou a deformación de micro pilares. Como técnica FSI, adoptamos un método de malla móbil con discretización compatible na interfaz sólido-líquido. Esta elección permite impoñer de xeito forte as condicións de compatibilidade cinemática e da lugar a resultados máis precisos preto da interfaz sólido-fluído. En concreto, usamos tmha descrición Lagranxiana para derivar a forma semidiscreta das ecuacións do sólido e unha descrición Arbitraria Lagranxiana-Euleriana (ALE) para o dominio do fluído. Isto quere dicir que a malla do fluído ten que ser actualizada para acomodar o movcmento da estrutura. Para iso. resolvemos un problema adicional de elasticidade lineal no que as condicións de contorno son os desprazamcutos procedentes do movemento do sólido. Para a discretizacióu espacial tanto do dominio do sólido coma do Huído adoptamos Análise lsoxeométrica (IGA) baseada en E-splines non uniformes (NURBS). unha xeueralización do método de elementos finitos que posúc contiuuidade global de alta ordP e que permite unha representación máis precisa de obxectos complexos. No que respecta á integración temporal, usamos un esquema alfa xeneralizado. O sistema de ccuacións non lineais é resalto a través dun método de Newton-Raphsou iterativo quP da lugar a un algoritmo preditor-multicorrector. O sistema lineal resultante é tratado mediante un método Gl\IRES precondicionado. Ademais, adoptamos unha formulación monolítica para o problema FSI, é dicir, as ecuacións do ftuído e do sólido son resaltas de xcito acoplado mentres que o movemento da malla se resolve por separado, utilizando como input os datos do resolvedor sólido-ftuído.