High-Order Finite Volume Methods Based on Moving Least Squares for Computational Fluid Dynamics: Application to All-Speed and Incompressible Flows on Unstructured Grids

Abstract

[Resumen] La Mecánica de Fluidos Computacional (CFD del inglés Computational Fluid Dynamics) es una disciplina de la mecánica basada principalmente en la resolución de las ecuaciones de Navier-Stokps. Este sistema de ecuaciones define de manera matemática el comportamiento dinámico de un fluido. Aunque este sistema de ecuaciones se propuso en el siglo XIX. aún hoy en día. sólo unos pocos problemas pueden ser resueltos de manera analítica. Por lo tanto, la mayoría de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes deben ser obtenidas de manera nlllnérica. La Mecánica de Fluidos Computacional empezó a cobrar importancia a partir de los años 60, impulsada principalmente por la industria aeroespacial y el aumento de la potencia el cálculo de los computadores. Desde entonces ha evolucionado hasta convertirse en una herramienta de vital importancia para industrias donde el conocimiento de la dinámica de los flujos es necesaria para el desarrollo ele nuevos dispositivos y prototipos. Por ejemplo, el diseño de vehículos más eficient es o menos ruidosos en el sector aeronáutico y automovilístico. A día de hoy, la mayoría de los métodos numéricos empleados habitualmente en la industria se hasan generalmente en discretizaciones espaciales de segundo orden. Estos métodos se han considerado como la mejor opción debido a su simplicidad, robustez y su eficacia para obtener una solución razonablemente precisa con un bajo coste computacional. Sin emhargo, los métodos de segundo orden pueden no ser suficientes para predecir el flujo de una manera precisa en geometrías complicadas o en problemas en los que la física sea compleja, como por ejemplo, problemas de acústica o problemas con flujos turbulentos. Debido a esto el interés por los métodos numéricos de alta precisión ha aumentado durante las últimas dos décadas. Además, los métodos de alto orden ofrecen el potencial de reducir significativamente el coste computacional con respecto a los métodos de bajo orden, ya que es posible obtener resultados con la misma precisión empleando una resolución de malla menor. El desarrollo de métodos de alto orden para mallas no estructuradas un área de investigación muy activo en la mecánica de fluidos computacional. En la mayoría de los problemas habituales en ingeniería, las geometrías asociadas suelen ser I:complejas, y la construcción de una malla estructurada en estas geometrías puede dar lugar a elementos distorsionados que podrían afectar la precisión del método. La gran flexibilidad geomptrica ofrecida por los mallados no estructurados hace de este tipo de mallas una opción eficaz para diseretizar geometrías complejas. En este contexto es necesario el desarrollo de m~todos numéricos de gran predsión para mallados no estructurados...

[Abstract] The development of high-order methods for unstructured grids remains a very active research field in Computational Fluid Dynamics (CFD). In the engineering field, most of the problcms are associatcd with complex geometries. In these problems the use of structured meshes can lead 1.0 distorted clements that could affect the accuracy of the method. The great geometrical flexibility offered by unstructured grids makes them highly effective for dealing with complex geometries. In this context, the development of very accurate numerical methods to work on unstructured grids is very desirable. During the past two decades, the interest in high-order methods has grown especial1y in certain applications where the complex flow structure and small length scales need to be adequately resolved. For example. in the simulation of turbulent flows or the propagation of acoustic waves, high-order rnethods are more suitable than low-order methods. However, with high-order rnethods there is a need to obtain high-order reconstructions of the variables. Despite the progress made in high-order methods for CFD, common industrial simulations on unstructurcd meshes are usually based on second-order discretizations. These methods have been typically considered as the right choice due to their simplicity, robustness, and their effectivcness in providing a reasonably accurate solution with comparably low complltational cost. However, classical second-order algorithms can be insnfficient to accurately predirt the flow in complicated geornetries and complex physics. This thesis presents the development of high-order nUlllerical methods for the numerical simulation of all-specd and incompressible flows on unstructured grids. One possible application of the formulation developed in this -thesis is the silllulation of turbomachinery fiow. The operational flow regimes associated to turbomachinery range from very low Mach numbers, which leads to nearly incompressible flows, to supersonic Mach numbers. In order to simnulate the flow with a wide range of Mach numbers, a high-order finite volume density-based formulation for all-speed flows is proposed in this thesis. The high-order reconstruction of thp variables is obtained by means of a Taylor series expansion. The gradients and high-order derivatives are obtained with the Moving Least Squares approximants. It is known that densily-based solvers present the so-called accuracy problem at low Mach regimes, due to excessive wrong numerical diffusion. In this thesis, it is shown that the accuraracy problem is alleviated when the order of the method is increased. However, have been proposed in the literature. To the author knowledge, all these fixes have been applied, at most to second-order methods...

[Resumo] A Mecánica de Fluídos Computacional (CFD do inglés Computational Fluid Dyllalllics) é unha disciplina da mecánica baseada principalmente na resolución das ecuacións de NavierStokes. Este sistema de ecuación" define de xeito matemático o romportamento dinámico dun fluído. Aínda que este sistema de ecuacións foi proposto no século XIX, aínda hoxe en día, só uns poucos problemas poden ser resoltos de xeito analítico. Polo tanto, a maioría das solucións das ecuacións de Navier-Stokes deben ser obtidas de xeito numérico. A Mecánica de Fluídos Computacional comezou a robrar importancia a partires dos anos 60, impulsada principalmente pola industria aeroespacial e o aumento da potencia de cálculo dos computadores. Dende entón evolucionou ata converterse nunha ferramenta de vital importancia para industrias ande o coñccemento da dinámica dos fluxos é necesaria para o desenvolvemento de novas dispositivos e prototipos. Por exemplo, no deseño de vehículos máis eficientes ou menos ruidosos no sector aeronáutico e automobilístico. A día de hoxe. a maioría dos métodos numéricos empregados habitualmente na industria baséanse xeralmente en discrctizacións espaciais de segunda arde. Estes métodos foron considerados como a mellor opción debido á súa simplicidade. robustez, e a súa eficada para obter unha solución razoablemellte precisa cun baixo custo computacional. Non obstante, os métodos de segunda orde poden non ser suficientes para predicir o fluxo dun xeito preciso en xeometrías complicadas ou en problemas nos que a física sexa complexa, como por excmplo. problemas de acústica ou problemas con fluxos turbulentos. Debido a isto. o interese polos métodos numéricos de alta precisión aumentou durante as últimas dúas décadas. Ademais, os métodos de alta orde ofrecen o potencial de reducir significativamente o custo computacional con respecto aos métodos de baixa arde, xa que é posible obter resultados coa mesma precisión cmpregando unha resolución de malla menor. O descnvolvemento de métodos de alta arde para mallas non estructuradas é unha área de investigación moi activa na mecánica de fluídos computacional...