Contributions to the mathematical analysis and numerical simulation of stochastic models of general equilibrium with heterogeneous agents and fixed costs

Abstract

[Abstract] In the framework of general equilibrium models for heterogeneous agents under rational expectations, we analyze different problems to establish their mathematical model and numerical solution. The productivity is the only stochastic underlying factor, the dynamics of which either follows an Ito process or a Levy one. We assume the possibility of exit and entry of new firms in the sectors and we consider the case of one sector or two sectors. In this setting, for the problems of incumbent firms, the mathematical models are mainly formulated in terms of Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) PDEs or PIDEs, with obstacle inequality constraints on the solution. For the probability distribution of firms, the mathematical models are based on Kolmogorov-Fokker-Plank (KFP) PDEs or PIDEs. The global equilibrium models are completed with the household problem and the feasibility conditions. For the numerical solution, the appropriate discretizations of the involved PDEs or PIDEs are combined with an augmented Lagrangian active set (ALAS) method to treat the free boundaries in the incumbent problems. A fixed point iteration that sequentially solves the different subproblems included in the global one is applied. For the time-dependent models, a Crank-Nicolson method for the time discretization is incorporated. The numerical examples illustrate the performance of the proposed models and numerical methods for different problems and show the convergence of the solutions of the evolutive problems to the ones of the corresponding steady state problems.

[Resumen] En el marco de modelos de equilibrio general para agentes heterogéneos bajo expectativas racionales, analizamos diferentes problemas para obtener sus modelos matemáticos y soluciones numéricas. La productividad es el único factor estocástico, cuya dinámica sigue un proceso de Ito o de Levy. Además, consideramos el caso de uno o dos sectores, asumiendo la posibilidad de salida y entrada de nuevas empresas en los sectores. En este contexto, para los problemas de empresas existentes, los modelos matemáticos se formulan principalmente en términos de ecuaciones en derivadas parciales (EDPs) o ecuaciones integro-diferenciales parciales (EIDPs) de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB), con restricciones de tipo obstáculo en las soluciones. Para la distribución de probabilidad de empresas, los modelos matemáticos se basan en EDPs o EIDPs de Kolmogorov-Fokker-Planck (KFP). Además, los modelos de equilibrio global se completan con el problema de los hogares y las condiciones de viabilidad. Para la solución numérica, adecuadas discretizaciones de las EDPs o EIDPs se combinan con métodos de conjunto activo de tipo Lagrangiano aumentado para tratar las fronteras libres en los problemas de empresas existentes. Además, se aplica una iteración de punto fijo que resuelve secuencialmente los diferentes subproblemas involucrados en el problema global. Para el modelo evolutivo, se incorpora el método de Crank-Nicolson para la discretización temporal. Los ejemplos numéricos ilustran el rendimiento de los modelos propuestos y los métodos numéricos para los diferentes problemas, y muestran la convergencia de las soluciones de los problemas evolutivos a sus correspondientes problemas estacionarios.

[Resumo] No marco dos modelos de equilibrio xeral para axentes heteroxéneos baixo expectativas racionais, analizamos diferentes problemas para obter os seus modelos matemáticos e solucións numéricas. A produtividade é o único factor estocástico, cuxa dinámica segue un proceso de Ito ou de Levy. Ademais, consideramos o caso dun ou dous sectores, asumindo a posibilidade de saída e entrada de novas empresas nos sectores. Neste contexto, para os problemas de empresas existentes, os modelos matemáticos formúlanse principalmente en termos de ecuacións en derivadas parciais (EDPs) ou ecuacións integro-diferenciais parciais (EIDPs) de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB), con restricións de tipo obstáculo nas solucións. Para a distribución de probabilidade de empresas, os modelos matemáticos baséanse en EDPs ou EIDPs de Kolmogorov-Fokker-Planck (KFP). Ademais, os modelos de equilibrio global complétanse co problema dos fogares e as condicións de viabilidade. Para a solución numérica, discretizacións adecuadas das EDPs ou EIDPs combínanse con métodos de conxunto activo de tipo Lagrangiano aumentado para tratar as fronteiras libres nos problemas de empresas existentes. Ademais, aplícase unha iteración de punto fixo que resolve secuencialmente os diferentes subproblemas involucrados no problema global. Para o modelo evolutivo, incorpórase o método de Crank-Nicolson para a discretización temporal. Os exemplos numéricos ilustran o funcionamento dos modelos propostos e os métodos numéricos para os diferentes problemas, e mostran a converxencia das +solucións dos problemas evolutivos aos seus correspondentes problemas estacionarios.