Statistical Inference in Mixed Models With Random Slope: Applications of Interest In Small Areas

Abstract

[Resumen] La estimación en áreas pequeñas aborda la obtención de estimaciones fiables de indicadores cuando los tamaños muestrales a nivel de dominio son reducidos o inexistentes. En este contexto, los modelos mixtos constituyen una herramienta fundamental al permitir combinar información global y específica de cada área. Sin embargo, la mayoría de los enfoques existentes se basan en modelos con interceptos aleatorios, asumiendo homogeneidad en los efectos de las variables explicativas entre dominios, una hipótesis a menudo demasiado restrictiva en aplicaciones reales. Esta tesis desarrolla un marco metodológico unificado para la inferencia en modelos de estimación en áreas pequeñas que incorporan pendientes aleatorias, permitiendo modelar explícitamente la heterogeneidad estructural entre áreas. Se estudian modelos de área con respuesta discreta (Poisson) y continua (Fay-Herriot), tanto en contextos transversales como longitudinales. Para cada modelo se derivan predictores óptimos, se proponen procedimientos eficientes de estimación de parámetros y se desarrollan estimadores del error cuadrático medio, tanto analíticos como basados en bootstrap. El comportamiento de las metodologías propuestas se evalúa mediante estudios de simulación y se ilustran sus ventajas en aplicaciones reales, incluyendo la estimación de ocupación hospitalaria en contextos epidémicos y la obtención de indicadores socioeconómicos desagregados a partir de encuestas oficiales. En conjunto, la tesis amplía el marco metodológico de la estimación en áreas pequeñas, proporcionando modelos más flexibles y realistas para la producción de indicadores fiables en situaciones de escasez de información.[Resumo] A estimación en áreas pequenas ocúpase da obtención de estimacións fiables de indicadores cando os tamaños mostrais a nivel de dominio son reducidos ou mesmo inexistentes. Neste contexto, os modelos mixtos constitúen unha ferramenta fundamental ao permitir combinar información global coa específica de cada área. Porén, a maioría dos enfoques existentes baséanse en modelos con intersectos aleatorios, asumindo homoxeneidade nos efectos das variables explicativas entre dominios, unha hipótese que adoita resultar excesivamente restritiva en aplicacións reais. Esta tese desenvolve un marco metodolóxico unificado para a inferencia en modelos de estimación en áreas pequenas que incorporan pendentes aleatorias, permitindo modelar explicitamente a heteroxeneidade estrutural entre áreas. Estúdanse modelos de área con resposta discreta (Poisson) e continua (Fay-Herriot), tanto en contextos transversais como lonxitudinais. Para cada modelo derívanse preditores óptimos, propóñense procedementos eficientes para a estimación dos parámetros e desenvólvense estimadores do erro cadrático medio, tanto analíticos como baseados en bootstrap. O comportamento das metodoloxías propostas avalíase mediante estudos de simulación e ilústranse as súas vantaxes en aplicacións reais, incluíndo a estimación da ocupación hospitalaria en contextos epidémicos e a obtención de indicadores socioeconómicos desagregados a partir de enquisas oficiais. En conxunto, esta tese amplía o marco metodolóxico da estimación en áreas pequenas, proporcionando modelos máis flexibles e realistas para a produción de indicadores fiables en situacións de escaseza de información.[Abstract] Small area estimation focuses on producing reliable estimates of indicators when sample sizes at the domain level are small or even zero. In this context, mixed models constitute a key methodological tool, as they allow the combination of global information with area-specific variability. However, most existing approaches rely on models with random intercepts only, implicitly assuming homogeneity in the effects of explanatory variables across domains, an assumption that is often overly restrictive in real-world applications. This thesis develops a unified methodological framework for inference in small area estimation models incorporating random slopes, thereby enabling the explicit modelling of structural heterogeneity across areas. Area-level models with discrete responses (Poisson) and continuous responses (Fay–Herriot) are studied in both cross-sectional and longitudinal settings. For each model, optimal predictors are derived, efficient parameter estimation procedures are proposed, and mean squared error estimators are developed, including both analytical and bootstrap-based approaches. The performance of the proposed methodologies is assessed through extensive simulation studies, and their practical advantages are illustrated through applications to real data, including hospital occupancy estimation in epidemic contexts and the production of disaggregated socioeconomic indicators from official surveys. Overall, this thesis extends the methodological toolkit of small area estimation by providing more flexible and realistic models for the production of reliable indicators under conditions of limited information.