Solution of High-Dimensional Nonlinear Parabolic PDEs by Means of High-Order IMEX Local Discontinuous Galerkin Methods (LDG) and Neural Networks (PINNs). Applications in Finance

Abstract

[Abstract] This dissertation presents two complementary research contributions to the numerical solution of problems in counterparty credit risk. First, we develop high-order local discontinuous Galerkin (LDG) numerical methods with implicit-explicit (IMEX) time marching for solving high-dimensional nonlinear parabolic partial differential equations (PDEs), detailing the space–time discretization, algebraic structure, and sparse-grid strategies for mitigating the curse of dimensionality. Second, we apply deep learning to high-dimensional tasks: (i) boundary-safe physics-informed neural networks (PINNs) to stabilize the training and improve accuracy for nonlinear parabolic PDEs relevant to valuation adjustments; and (ii) a cost-effective multi-output architecture to approximate dynamic Initial Margin (DIM) from single-path Monte Carlo-like labels, parameterized by initial market states. Together, these contributions show how LDG and deep learning can be combined to improve robustness and efficiency in valuation frameworks.

[Resumen] Esta tesis presenta dos contribuciones complementarias para la resolución numérica de problemas en riesgo de crédito de contraparte. En primer lugar, se desarrollan métodos numéricos de alto orden de tipo local discontinuous Galerkin (LDG) con integración temporal implícito–explícita (IMEX) para ecuaciones en derivadas parciales (EDPs) parabólicas no lineales en alta dimensión, detallando la discretización espacio–temporal, la estructura algebraica resultante y el uso de mallas (sparse) para mitigar la maldición de la dimensión. En segundo lugar, se aplican técnicas de aprendizaje profundo a problemas de alta dimensión: (i) physics-informed neural networks (PINNs) con formulación boundary-safe para estabilizar el entrenamiento y mejorar la precisión en EDPs parabólicas no lineales relevantes en los ajustes de valoración; y (ii) una arquitectura multi-salida eficiente para aproximar el dynamic Initial Margin (DIM) mediante etiquetas generadas a partir de una única trayectoria de Monte Carlo, parametrizadas por los estados iniciales de mercado. Conjuntamente, estas aportaciones muestran cómo LDG y el aprendizaje profundo se combinan para mejorar la robustez y la eficiencia en contextos de valoración.

[Resumo] Esta tese presenta dúas contribucións complementarias para a resolución numérica de problemas en risco de crédito de contraparte. En primeiro lugar, desenvólvense métodos numéricos de alta orde de tipo local discontinuous Galerkin (LDG) con integración temporal implícito-explícita (IMEX) para ecuacións en derivadas parciais (EDPs) parabólicas no lineais en alta dimensión, detallando a discretización espazo-temporal, a estrutura alxebraica e o uso de grellas sparse para mitigar a maldición da dimensión. En segundo lugar, aplícanse técnicas de aprendizaxe profunda a problemas de alta dimensión: (i) physics-informed neural networks (PINNs) con formulación boundary-safe para estabilizar o adestramento e mellorar a precisión en EDPs parabólicas no lineais relevantes para os axustes de valoración; e (ii) unha arquitectura multi-saída eficiente para aproximar o dynamic Initial Margin (DIM) mediante etiquetas xeradas a partir de unha única traxectoria de Monte Carlo, parametrizadas polos estados iniciais de mercado. Conxuntamente, estas aportacións mostran cómo LDG e a aprendizaxe profunda se combinan para mellorar a robustez e a eficiencia en contextos de valoración.