Rigidity of weighted Einstein smooth metric measure spaces

Abstract

[Abstract] We study the geometric structure of weighted Einstein smooth metric measure spaces with weighted harmonic Weyl tensor. A complete local classification is provided, showing that either the underlying manifold is Einstein, or decomposes as a warped product in a specific way. Moreover, if the manifold is complete, then it either is a weighted analogue of a space form, or it belongs to a particular family of Einstein warped products.[Résumé] Nous étudions la structure géométrique des smooth metric measure spaces (variétés différentielles avec densité) pondérés d'Einstein avec un tenseur de Weyl harmonique pondérée. Nous allons fournir une classification locale complète, montrant que soit la variété sous-jacente est d'Einstein, soit elle se décompose en un produit déformé, d'une manière spécifique. De plus, si la variété est complète, alors elle est soit une version pondérée d'une forme d'espace, soit elle appartient à une famille particulière de produits déformés d'Einstein.