Mathematical Models and Numerical Methods for Xva With Emphasis In Regulatory Capital

Abstract

[Abstract] This thesis concerns modelling, mathematical analysis and numerical solution of the evaluation problem for financial derivatives in the presence of multiple risks and costs, including those related to the regulatory capital. Several valuation adjustments are considered, the most important being the capital valuation adjustment (KVA). For this purpose, a suitable market theory is provided and applied to three different situations. In the first one, we present single-factor models to price a European derivative with KVA as part of the total valuation adjustment. We formulate the models as linear and semilinear Partial Differential Equations (PDEs), and by the Feynman-Kac theorem, in form of expectation and Forward Backward Stochastic Differential Equations (FBSDEs). The same methodology is extended to a multi-currency setting, with several stochastic factors for the underlying assets, the exchange rates and the short rates. For PDE formulations, we rigorously obtain the existence and uniqueness of classical solutions. For each derived model, we propose suitable numerical methods. In the single-factor case, we solve the PDE by combining the local discontinuous Galerkin method for space discretization with an implicit-explicit time integrator. In the multi-factor case, the semilinear problem is interpreted as an FBSDE, which is solved using the Deep BSDE algorithm. We illustrate the performance and validate the effectiveness of these methods through examples involving European options. Finally, we model and study carbon policy risk and its possible connections with the regulatory capital. We demonstrate that this risk is material and propose a carbon policy capital requirement to shield financial institutions.

[Resumen] Esta tesis trata sobre la modelización, el análisis matemático y la resolución numérica del problema de valoración de derivados financieros en presencia de múltiples riesgos y costes, incluidos aquellos relacionados con el capital regulatorio. Se consideran varios ajustes de valoración, siendo el más importante el KVA. Con este propósito, se proporciona una teoría de mercado adecuada que se aplica a tres situaciones diferentes. En la primera, presentamos modelos de un solo factor para valorar un derivado europeo con el KVA como parte del ajuste total de valoración. Formulamos los modelos como EDPs lineales y semilineales, y mediante el teorema de Feynman-Kac en forma de esperanzas y de FBSDEs. La misma metodología se extiende a un entorno multi-divisa, con varios factores estocásticos para los subyacentes, los tipos de cambio y los tipos de interés a corto plazo. Para las formulaciones en EDPs, obtenemos la existencia y unicidad de soluciones clásicas. Para cada modelo, proponemos métodos numéricos adecuados. En el caso de un solo factor, resolvemos la EDP combinando el método de Galerkin discontinuo local para la discretización espacial con un integrador temporal implícito-explícito. En el caso de múltiples factores, el problema semilineal se interpreta como una BSDE, que se resuelve utilizando el algoritmo Deep BSDE. Ilustramos el rendimiento y validamos la efectividad de estos métodos mediante ejemplos que involucran opciones europeas. Finalmente, modelamos y estudiamos el riesgo de políticas de carbono y sus posibles conexiones con el capital regulatorio. Demostramos que este riesgo es relevante y proponemos un requerimiento de capital por política de carbono para proteger a las instituciones financieras.

[Resumo] Esta tese trata sobre a modelización, a análise matemática e a resolución numérica do problema de valoración de derivados financeiros en presenza de múltiples riscos e custos, incluídos aqueles relacionados co capital regulatorio. Considéranse varios axustes de valoración, sendo o máis importante o KVA. Con este propósito, proporciónase unha teoría de mercado axeitada que se aplica a tres situacións diferentes. Na primeira, presentamos modelos dun só factor para valorar un derivado europeo co KVA como parte do axuste total de valoración. Formulamos os modelos como EDPs lineais e semilineais, e mediante o teorema de Feynman-Kac en forma de esperanzas e de FBSDEs. A mesma metodoloxía esténdese a un entorno multi-moeda, con varios factores estocásticos para os subxacentes, os tipos de cambio e os tipos de xuro a curto prazo. Para as formulacións en EDPs, obtemos rigorosamente a existencia e unicidade de solucións clásicas. Para cada modelo derivado, propoñemos métodos numéricos axeitados. No caso dun só factor, resolvemos a EDP combinando o método de Galerkin discontinuo local para a discretización espacial cun integrador temporal implícito-explícito. No caso de múltiples factores, o problema semilineal interprétase como unha BSDE, que se resolve empregando o algoritmo Deep BSDE. Ilustramos o rendemento e validamos a efectividade destes métodos mediante exemplos que implican opcións europeas. Finalmente, modelamos e estudamos o risco das políticas de carbono e as súas posibles conexións co capital regulatorio. Demostramos que este risco é relevante e propoñemos un requirimento de capital por política de carbono para protexer ás institucións financeiras.[Resumo] Esta tese trata sobre a modelización, a análise matemática e a resolución numérica do problema de valoración de derivados financeiros en presenza de múltiples riscos e custos, incluídos aqueles relacionados co capital regulatorio. Considéranse varios axustes de valoración, sendo o máis importante o KVA. Con este propósito, proporciónase unha teoría de mercado axeitada que se aplica a tres situacións diferentes. Na primeira, presentamos modelos dun só factor para valorar un derivado europeo co KVA como parte do axuste total de valoración. Formulamos os modelos como EDPs lineais e semilineais, e mediante o teorema de Feynman-Kac en forma de esperanzas e de FBSDEs. A mesma metodoloxía esténdese a un entorno multi-moeda, con varios factores estocásticos para os subxacentes, os tipos de cambio e os tipos de xuro a curto prazo. Para as formulacións en EDPs, obtemos rigorosamente a existencia e unicidade de solucións clásicas. Para cada modelo derivado, propoñemos métodos numéricos axeitados. No caso dun só factor, resolvemos a EDP combinando o método de Galerkin discontinuo local para a discretización espacial cun integrador temporal implícito-explícito. No caso de múltiples factores, o problema semilineal interprétase como unha BSDE, que se resolve empregando o algoritmo Deep BSDE. Ilustramos o rendemento e validamos a efectividade destes métodos mediante exemplos que implican opcións europeas. Finalmente, modelamos e estudamos o risco das políticas de carbono e as súas posibles conexións co capital regulatorio. Demostramos que este risco é relevante e propoñemos un requirimento de capital por política de carbono para protexer ás institucións financeiras.