Mathematical analysis and numerical methods for pricing some pension plans and mortgages

Abstract

[Resumen] El objetivo principal de esta tesis se centra en el análisis matemático y la solución numérica de algunos modelos de ecuaciones en derivadas parciales (EDPs) para valorar planes de pensiones con beneficios definidos e hipotecas a tipo de interés fijo. En los planes de pensiones, los beneficios por jubilación dependen del salario medio. Cuando no se permite jubilación anticipada, se plantea un problema de Cauchy asociado con un operador de Kolmogorov degenerado, en otro caso aparece un problema de complementariedad. Bajo ambas alternativas, obtenemos la existencia y unicidad de solución en los espacios funcionales adecuados. Además, si incorporamos saltos en el salario, entonces los problemas de Cauchy y de complementariedad están asociados a un operador integro-diferencial. En las hipotecas a tipo de interés fijo, consideramos las opciones de amortización anticipada e impago. Los factores estocásticos subyacentes son el tipo de interés y el valor del colateral. La valoración del contrato requiere resolver una serie de problemas de frontera libre enlazados. Los valores del seguro y de la fracción de pérdida potencial no cubierta por dicho seguro son la solución de una serie de problemas de Cauchy enlazados. Para obtener una solución numérica, se propone un método de Lagrange-Galerkin para la discretización de las EDPs, que se combina con un método iterativo de conjunto activo basado en una formulación de tipo lagrangiana aumentada para las restricciones de desigualdad. El término integral en el operador integro-diferencial se trata con técnicas de integración numérica apropiadas.

[Resumo] O obxectivo principal desta tese céntrase na análise matemática e a solución numérica dalgúns modelos de ecuacións en derivadas parciais (EDPs) para valorar plans de pensións con beneficios definidos e hipotecas a tipo de xuro fixo. Nos plans de pensións, os beneficios por xubilación dependen do salario medio. Cando non se permite xubilación anticipada, formúlase un problema de Cauchy asociado cun operador de Kolmogorov dexenerado, noutro caso aparece un problema de complementariedade. Baixo as dúas alternativas, obtemos a existencia e unicidade de solución nos espazos funcionais axeitados. Ademais, se incorporamos saltos no salario, entón os problemas de Cauchy e de complementariedade están asociados cun operador integro-diferencial. Nas hipotecas a tipo de xuro fixo, consideramos as opcións de amortización antecipada e incumprimento. Os factores estocásticos subxacentes son o tipo de xuro e o valor do colateral. A valoración do contrato require resolver unha serie de problemas de fronteira libre enlazados. Os valores do seguro e da fracción de perda potencial non cuberta polo devandito seguro son a solución dunha serie de problemas de Cauchy enlazados. Para obter unha solución numérica, proponse un método de Lagrange-Galerkin para a discretización das EDPs, que se combina cun método iterativo de conxunto activo baseado nunha formulación de tipo lagranxiana aumentada para as restricións de des-igualdade. O termo integral no operador integro-diferencial trátase con técnicas de integración numérica axeitadas.

[Abstract] The main objective of this thesis concerns to the mathematical analysis and numerical solution of some partial differential equation (PDE) models for pricing defined benefit pension plans and fixed-rate mortgages. In pension plans, the benefits at retirement depend on the average salary. When early retirement is not allowed a Cauchy problem associated with a degenerated Kolmogorov operator is posed, otherwise a complementarity problem arises. Under both alternatives, we obtain the existence and uniqueness of solution in appropriate functional spaces. If we incorporate jumps in the salary, then the Cauchy and complementarity problems are associated with a partial integro-differential operator (PIDE). In fixed-rate mortgages, we consider the possibility of prepayment and default. The underlying stochastic factors are the interest rate and the value of the collateral. The mortgage valuation requires solving a sequence of linked free boundary problems. The values of the insurance and coinsurance are the solution of respective sequences of linked Cauchy problems. For the numerical solution a Lagrange-Galerkin method for PDEs discretization is proposed, which is also combined with an active set iterative method based on an augmented Lagrangian formulation for inequality constraints. The integral term in the PIDE operator is treated with appropriate numerical integration techniques.