Partículas, volúmenes finitos y mallas no estructuradas : simulación numérica de problemas de dinámica de fluídos

Abstract

[Resumen] En esta tesis se propone la utilización de una clase de técnicas muy precisas de aproximación espacial: el ajuste por mínimos cuadrados móviles (MLS), en el desarrollo de esquemas numéricos para la resolución de problemas hidrodinámicos y aerodinámicos.

Se presenta primeramente una formulación lagrangiana de partículas, aplicada a problemas de flujo con superficies libres, basada en el método Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH). Asimismo se propone la combinación de aproximaciones MLS y esquemas upwind de volúmenes finitos, para la resolución de las ecuaciones de flujo compresible (Euler y Navier-Stokes) y de aguas someras (Shallow Waters) en mallas no estructuradas. Esta clase de métodos de aproximación es particularmente competitiva para la reconstrucción de una función y sus derivadas a partir de un conjunto de puntos, lo que sugiere la utilización de aproximaciones MLS para la construcción de esquemas de muy alto orden en mallas no estructuradas, en los que la falta de un esquema subyacente de aproximación espacial es el origen de diversas deficiencias.

Así, se han implementado reconstrucciones lineales, cuadráticas y cúbicas, evaluándose las derivadas necesarias mediante aproximaciones por mínimos cuadrados móviles y base cúbica de polinomios, presentándose diversos ejemplos de aplicación que demuestran la idoneidad de la metodología propuesta.

[Resumo] Nesta tese proponse a utilización dunha clase de técnicas moi precisas de aproximación espacial: o axuste por mínimos cadrados móbiles (MLS), no desenvolvemento de esquemas numéricos para a resolución de problemas hidrodinámicos e aerodinámicos.

Preséntase primeiramente unha formulación lagranxiana de partículas, aplicada a problemas de fluxo con superficies libres, baseada no método Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH). Do mesmo xeito proponse a combinación de aproximacións MLS e esquemas upwind de volumes finitos, para a resolución das ecuacións de fluxo compresible (Euler e Navier-Stokes) e de augas superficiais (Shallow Waters) en mallas non estruturadas. Esta clase de métodos de aproximación é particularmente competitiva para la reconstrución dunha función e as súas derivadas a partires dun conxunto de puntos, o que suxire a utilización de aproximacións MLS para a construción de esquemas de moi alta orde en mallas non estruturadas, nos que a falla dun esquema subxacente de aproximación espacial é a orixe de diversas deficiencias.

Así, implementáronse reconstrucións lineais, cuadráticas e cúbicas, avaliándose as derivadas necesarias mediante aproximacións por mínimos cadrados móbiles e base cúbica de polinomios, presentándose diversos exemplos de aplicación que demostran la idoneidade da metodoloxía proposta.

[Abstract] In this thesis, a class of highly accurate reconstruction techniques, namely the Moving Least-Squares (MLS) approximation, is used in the development of various numerical schemes applied to fluid dynamics problems.

Firstly, a lagrangian particle formulation, based on the Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) method, is presented and applied to free surface flows. This thesis also introduces the combination of Moving Least-Squares (MLS) approximations and finite volume upwind schemes, applied to the numerical solution of compressible flow (Euler/Navier-Stokes) and shallow water problems on unstructured grids. This class of approximation techniques is particularly well suited for the reconstruction of a function and its derivatives, using the information stored at certain scattered locations. This feature suggested the use of MLS approximations in the construction of very high order finite volume schemes on unstructured grids, where the absence of an underlying approximation framework constitutes a serious drawback.

Thus, linear, quadratic and cubic reconstructions have been developed using very accurate MLS approximations (cubic polynomial basis). It should be noted that this kind of reconstructions provide high order schemes, without increasing the number of degrees of freedom of the problem. The exceptional behaviour of the proposed methodology is demonstrated by several numerical examples.