Mathematical models and numerical methods for XVA in multicurrency setting

Abstract

[Abstract] This thesis is devoted to the mathematical modelling and numerical solution of problems related to the valuation of financial options including total value adjustment (XVA) in a multicurrency setting. In order to build the models, we assume European options with underlying as- sets written in di↵erent currencies, stochastic credit spread of the counterparty and, eventually, stochastic foreign exchange rates. Depending on the choice of the mark- to-market value, nonlinear or linear partial di↵erential equations (PDEs) are derived. We also make use of the nonlinear and linear Feynman-Kac theorems to deduce the equivalent models in terms of expectations. For each derived model, we propose numerical methods. When the number of stochastic factors is no greater than two, we propose a Lagrange-Galerkin scheme (based on the method of characteristics and the finite element method) for solving the PDEs, eventually combined with fixed point techniques for the nonlinear problems. For problems that include more than two underlying assets and/or stochastic FX rates, we propose the use of Monte Carlo simulations applied to the formulations based on expectations, combined with a Picard method and the more effi cient multilevel Picard iteration (MPI) scheme for the nonlinear cases. We apply these techniques to di↵erent options of European type that validate the performance of the models as well as the proposed numerical methods.

[Resumen] Esta tesis está dedicada al modelado matemático y simulación numérica de problemas de valoración de opciones financieras que incluyen ajuste de valoración total (XVA) en un marco multi-divisa. Con el fin de construir los modelos, suponemos opciones europeas sobre subyacentes escritos en diferentes monedas, un diferencial crediticio de la contraparte estocástico y, eventualmente, tasas de cambio también estocásticas. Dependiendo de la elección del valor de mercado del derivado en caso de incumplimiento (mark to market), deducimos ecuaciones en derivadas parciales lineales y no lineales. También hacemos uso de los teoremas (lineal y no lineal) de Feynman-Kac para deducir los modelos equivalentes en términos de esperanzas. Para los modelos deducidos proponemos su resolución mediante distintos métodos numéricos. Cuando el número de variables estocásticas es inferior o igual a dos proponemos un esquema de Lagrange-Galerkin (basado en el método de las características y el método de elementos finitos), eventualmente combinado con una técnica de punto fijo para los problemas no lineales. Para los casos que involucran más de dos subyacentes y/o tasas de cambio estocásticas, proponemos simulaciones basadas en el método de Monte Carlo, combinadas con un método de Picard o el más eficiente esquema de iteración de Picard multinivel para los problemas no lineales. Aplicamos todas estas técnicas para valorar diferentes opciones europeas, habiendo obtenido buenos resultados que validan tanto los modelos como los métodos numéricos propuestos.

[Resumo] Esta tese está dedicada ao modelado matemático e simulación numérica de problemas de valoración de opcións financeiras que inclúen axuste de valoración total (XVA) nun marco multi-divisa. Co fin de construír os modelos, supomos opcións europeas sobre subxacentes escritos en diferentes moedas, un diferencial crediticio da contraparte estocástico e, eventualmente, taxas de cambio tamén estocásticas. Dependendo da elección do valor de mercado do derivado en caso de incumprimento (mark to market), deducimos ecuacións en derivadas parciais lineais e non lineais. Tamén facemos uso dos teoremas (lineal e non lineal) de Feynman-Kac para deducir os modelos equivalentes en termos de esperanzas. Para os modelos deducidos propomos a súa resolución mediante distintos métodos numéricos. Cando o número de variables estocásticas é inferior ou igual a dous propomos un esquema de Lagrange-Galerkin (baseado no método das características e o método de elementos finitos), eventualmente combinado cunha técnica de punto fixo para os problemas non lineais. Para os casos que involucran máis de dous subxacentes e/ou taxas de cambio estocásticas, propomos simulacións baseadas no método de Monte Monte Carlo, combinadas cun método de Picard ou o máis eficiente esquema de iteración de Picard multinivel para os problemas non lineais. Aplicamos todas estas técnicas para valorar diferentes opcións europeas, obtendo bos resultados que validan tanto os modelos como os métodos numéricos propostos. Carlo, combinadas cun método de Picard ou o máis eficiente esquema de iteración de Picard multinivel para os problemas non lineais.