The spin representation of the unitary group

Abstract

Dada una forma hermitiana f no degenerada, definida sobre el cuerpo conmutativo F , y siendo el automorfismo involutivo asociado a f distinto de la identidad, se define una forma cuadrática Q asociada a f. Entonces las transformaciones unitarias y semejanzas unitarias respecto a f son transformaciones ortogonales y semejanzas respecto a Q. La representación espinorial del grupo ortogonal definido por Q induce una representación del grupo unitario definido por f. Llamamos a esta representación del grupo unitario su representación espinorial. En el caso de que la característica de F sea cero o mayor que la dimensión de M sobre F, se demuestra que la representación espinorial del grupo unitario es completamente reducible y se hallan sus componentes irreducibles de las que se determinan algunas propiedades. La representación espinorial del grupo unitario puede extenderse a una representación del grupo de semejanzas unitarias, obteniéndose para este caso la misma descomposición en componentes irreducibles. Flnalmente, el método usado para el estudio de la representación espinorial del grupo unitario permite definir representaciones del grupo proyectivo de semejanzas unitarias en grupos ortogonales. Es posible que estas representaciones puedan ser obtenidas también usando las componentes homogéneas del álgebra exterior del espacio M, pero nuestra definición nos proporciona mejores medios para efectuar su estudio, que será llevado a cabo en un próximo artículo.