Modelling, Mathematical Analysis and Numerical Simulation of Problems Related to Counterparty Risk and CVA

Abstract

[Abstract] This thesis deals with the modelling, mathematical analysis and numerical solution of partial di erential equation (PDE) problems for pricing European and American options when considering counterparty risk. Several valuation adjustments are considered, the most important one being the credit value adjustment (CVA). In the modelling, the intensity of default from each risky counterparty plays a relevant role. In the present work we analyze two situations. In the rst one constant intensities of default are assumed, leading to PDE models with one spatial dimension. In the second setting stochastic intensities are assumed, although only one counterparty can default so that PDE models with two spatial variables are deduced. Thus, Cauchy-boundary value PDE problems are posed for European options, while complementarity problems govern the pricing of American options. The two more usual choices for the mark-to-market value, risk-free and risky derivative values, lead to linear and nonlinear PDE problems, respectively. The mathematical analysis of the nonlinear models is one of the main achievements of this work, thus obtaining the existence and uniqueness of solution for the di erent problems. For the numerical solution, a method of characteristics jointly with a xed point iteration and nite elements are used. In the case of American options, an augmented Lagrangian active set method is additionally applied. Also, the equivalent formulations in terms of expectations have been posed and numerically solved by means of appropiate Monte Carlo techniques. Finally, we show illustrative results of the performance of the models and numerical methods that have been implemented.

[Resumen] Esta tesis se centra en el modelado, análisis matemático y resolución numérica de problemas de ecuaciones en derivadas parciales para opciones europeas y americanas con riesgo de contrapartida. Se consideran diferentes valoraciones de ajustes, el más importante de los cuales es el riesgo de contrapartida (CVA). En el modelado, la intensidad de quiebra de cada contraparte juega un papel importante. En el presente trabajo consideramos dos situaciones. En la primera se asumen intensidades de quiebra constantes) lo cual da lugar a modelos unidimensionales. En el segundo escenario se consideran intensidades de quiebra estocásticas, pero solo una contrapaIte puede quebrar, obteniéndose un modelo de EDPs bidimensional. Se obtiene así un problema de valor inicial y de contorno regido por EDPs para las opciones europeas, mientras que la valoración de opciones americanas está gobernada por problemas de complementariedad. Las dos opciones más habituales del valor de mercado en el instante de quiebra (valores sin riesgo y con riesgo) conducen a EDPs lineales y no lineales, respectivamente. El análisis matemático de los modelos no lineales es uno de los principales logros de este trabajo, obteniéndose la existencia y unicidad de solución. Para la solución numérica, se combinan métodos de características, punto fijo y elementos finitos. En el caso de las opciones americanas, el problema discretizado es resuelto mediante un método de lagrangiano aumentado. Se han planteado también formulaciones equivalentes en términos de esperanzas, que han sido resueltas medimlte técnicas adecuadas de Monte CarIo. Finahnente se muestran resultados del comportamiento de los modelos y de los métodos numéricos implementados.

[Resumo] Esta tese céntrase no modelado, análise matemática e solución numérica de problemas de ecuacións en derivadas parciais para opcións europeas e americanas con risco de contrapartida. Considéranse diferentes valoracións de axustes, o máis importante dos cales é o risco de contrapartida (CVA). No modelado, a intensidade de quebra de cada contraparte xoga un papel importante. No presente traballo consideramos dúas situacíóns. Na primeira asÚlnense intensidades de quebra constantes, o cal dá lugar a modelos unidimensionais. No segundo escenario considéranse intensidades de quebra estocásticas, pero só unha contraparte pode quebrar, obtélldose un modelo de EDPs bidimensional. Obtense así un problema de valor inicial e de contorno rexido por EDPs para as opcións europeas, mentres que a valoración de opcións americanas está gobenlada por problemas de complementariedade. As dúas opcións mms habituais do valor de mercado no instante de quebra (valores sen risco e con risco) conducen a EDPs lineais e non lineais, respectivamente. A análise matemática dos modelos non lineais é un dos principais logros deste traballo, obténdose a existencia e unicidade de solución. Para a solución numérica, combínanse métodos de características, punto fixo e elementos finitos. No caso das opcións americanas, o problema discretizado é resolto mediante un método de lagrangiano aumentado. Propónse tamén formulacións equivalentes en termos de esperanzas, que son resoltas mediante técnicas adecuadas de Monte Cado. Finalmente móstranse resultados do comportamento dos modelos e dos métodos numéricos implementados.