Modelling, Mathematical Analysis and Numerical Simulation of Problems Related to Counterparty Risk and CVA
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http://hdl.handle.net/2183/21543Coleccións
- Teses de doutoramento [2165]
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Modelling, Mathematical Analysis and Numerical Simulation of Problems Related to Counterparty Risk and CVAAutor(es)
Director(es)
Vázquez, CarlosArreguí Álvarez, Íñigo
Data
2018Resumo
[Abstract]
This thesis deals with the modelling, mathematical analysis and numerical solution
of partial di erential equation (PDE) problems for pricing European and American
options when considering counterparty risk. Several valuation adjustments are considered,
the most important one being the credit value adjustment (CVA).
In the modelling, the intensity of default from each risky counterparty plays a
relevant role. In the present work we analyze two situations. In the rst one constant
intensities of default are assumed, leading to PDE models with one spatial dimension.
In the second setting stochastic intensities are assumed, although only one
counterparty can default so that PDE models with two spatial variables are deduced.
Thus, Cauchy-boundary value PDE problems are posed for European options, while
complementarity problems govern the pricing of American options.
The two more usual choices for the mark-to-market value, risk-free and risky
derivative values, lead to linear and nonlinear PDE problems, respectively. The
mathematical analysis of the nonlinear models is one of the main achievements of
this work, thus obtaining the existence and uniqueness of solution for the di erent
problems.
For the numerical solution, a method of characteristics jointly with a xed point
iteration and nite elements are used. In the case of American options, an augmented
Lagrangian active set method is additionally applied. Also, the equivalent formulations
in terms of expectations have been posed and numerically solved by means
of appropiate Monte Carlo techniques. Finally, we show illustrative results of the
performance of the models and numerical methods that have been implemented. [Resumen]
Esta tesis se centra en el modelado, análisis matemático y resolución numérica de
problemas de ecuaciones en derivadas parciales para opciones europeas y americanas con riesgo de contrapartida. Se consideran diferentes valoraciones de ajustes, el más
importante de los cuales es el riesgo de contrapartida (CVA).
En el modelado, la intensidad de quiebra de cada contraparte juega un papel
importante. En el presente trabajo consideramos dos situaciones. En la primera se
asumen intensidades de quiebra constantes) lo cual da lugar a modelos unidimensionales.
En el segundo escenario se consideran intensidades de quiebra estocásticas, pero
solo una contrapaIte puede quebrar, obteniéndose un modelo de EDPs bidimensional.
Se obtiene así un problema de valor inicial y de contorno regido por EDPs para las
opciones europeas, mientras que la valoración de opciones americanas está gobernada
por problemas de complementariedad.
Las dos opciones más habituales del valor de mercado en el instante de quiebra
(valores sin riesgo y con riesgo) conducen a EDPs lineales y no lineales, respectivamente.
El análisis matemático de los modelos no lineales es uno de los principales
logros de este trabajo, obteniéndose la existencia y unicidad de solución.
Para la solución numérica, se combinan métodos de características, punto fijo y
elementos finitos. En el caso de las opciones americanas, el problema discretizado es
resuelto mediante un método de lagrangiano aumentado. Se han planteado también
formulaciones equivalentes en términos de esperanzas, que han sido resueltas medimlte
técnicas adecuadas de Monte CarIo. Finahnente se muestran resultados del
comportamiento de los modelos y de los métodos numéricos implementados. [Resumo]
Esta tese céntrase no modelado, análise matemática e solución numérica de problemas
de ecuacións en derivadas parciais para opcións europeas e americanas con risco de
contrapartida. Considéranse diferentes valoracións de axustes, o máis importante dos
cales é o risco de contrapartida (CVA).
No modelado, a intensidade de quebra de cada contraparte xoga un papel importante.
No presente traballo consideramos dúas situacíóns. Na primeira asÚlnense
intensidades de quebra constantes, o cal dá lugar a modelos unidimensionais. No
segundo escenario considéranse intensidades de quebra estocásticas, pero só unha
contraparte pode quebrar, obtélldose un modelo de EDPs bidimensional. Obtense así
un problema de valor inicial e de contorno rexido por EDPs para as opcións europeas,
mentres que a valoración de opcións americanas está gobenlada por problemas
de complementariedade.
As dúas opcións mms habituais do valor de mercado no instante de quebra (valores
sen risco e con risco) conducen a EDPs lineais e non lineais, respectivamente. A
análise matemática dos modelos non lineais é un dos principais logros deste traballo,
obténdose a existencia e unicidade de solución.
Para a solución numérica, combínanse métodos de características, punto fixo e
elementos finitos. No caso das opcións americanas, o problema discretizado é resolto
mediante un método de lagrangiano aumentado. Propónse tamén formulacións equivalentes
en termos de esperanzas, que son resoltas mediante técnicas adecuadas de
Monte Cado. Finalmente móstranse resultados do comportamento dos modelos e dos métodos numéricos implementados.
Palabras chave
Crédito-Gestión del riesgo
Instituciones financieras-Gestión del riesgo
Riesgo financiero-Modelos matemáticos
Instituciones financieras-Gestión del riesgo
Riesgo financiero-Modelos matemáticos
Descrición
Programa Oficial de Doutoramento en Métodos Matemáticos e Simulación Numérica en Enxeñaría e Ciencias Aplicadas. 551V01
Dereitos
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