A coupled model for the joint resolution of the shallow water and the groundwater flow equations with a new boundary condition treatment for moving interfaces

Abstract

[Resumen] Este trabajo se centra en la modelización conjunta de la hidrodinámica del agua en lámina libre y subterránea a partir de un modelo numérico superficial-subterráneo que considere la interacción entre el agua superficial y subterránea. Se ha desarrollado un nuevo modelo hidrodinámico bidimensional para la modelización acoplada de los flujos superficial y subterráneo a través de la resolución conjunta de las ecuaciones constitutivas mediante el Método de los Elementos Finitos. Este modelo acoplado resuelve tanto las ecuaciones de aguas someras, que gobiernan el flujo en lámina libre, como la ecuación de continuidad promediada en profundidad particularizada para flujo subterráneo, que gobierna el movimiento del agua a través de medios porosos. El modelo está constituido por dos módulos (agua superficial y subterránea) previamente desarrollados por el autor los cuales han sido validados de forma separada. Cada sub-modelo ha sido validado mediante la comparación de los resultados obtenidos con los disponibles en algunos ejemplos de referencia. Con el uso de estas ecuaciones, el modelo desarrollado evalúa el flujo del fluido considerando el flujo superficial y subterráneo aproximadamente de la forma en que éstos tienen lugar en la naturaleza. El modelo simula la hidrodinámica del agua en cuencas naturales gracias a una nueva interfaz desarrollada que gobierna la interacción entre el flujo en lámina libre y subterráneo. La interfaz permite el intercambio de partículas de agua desde el flujo superficial y desde el flujo subterráneo. El modelo resuelve ambas ecuaciones alternativamente utilizando un contorno móvil y un nuevo tratamiento de las condiciones de contorno para este contorno que permite la conservación de masa. También se prueba otro tratamiento de las condiciones de contorno que utiliza la conocida condición de goteo. Éste es considerado para el contorno móvil de forma que se garantice la conservación de masa. El principal logro de este trabajo tiene que ver con el acoplamiento de ambos sub-modelos, permitiendo un tratamiento apropiado para la interfaz móvil que simula aceptablemente la interacción que se da entre ambos flujos en cuencas naturales. El modelo incorpora otras condiciones para considerar la lluvia y los pozos de bombeo. Desde un punto de vista numérico, para las ecuaciones de aguas someras, éste incorpora diferentes procedimientos para resolver el problema no lineal, diferentes esquemas temporales y la técnica SUPG-PSPG con estabilización grad-div. Para construir el sistema algebraico de ecuaciones se ha utilizado un esquema implícito y uno semi-implícito. Para resolver las no linealidades de los sistemas resultantes para el esquema implícito se han usado los métodos iterativos de Picard y de Newton. De este modo, con el fin de reducir el gran tiempo de computación necesario, se pueden utilizar dos estrategias para el sub-modelo superficial que es el más costoso. Si se emplean números de Reynolds pequeños, se usa el método de Newton. En otro caso es necesario usar el método de estabilización. El sistema lineal para ambos sub-modelos es resuelto mediante el método de los Gradientes BiConjugados Precondicionado que permite un almacenamiento de matriz dispersa. El tiempo computacional también es reducido con un almacenamiento inteligente de la matriz en vectores junto con una aproximación inicial apropiada y una buena matriz de precondicionamiento para el algoritmo iterativo de resolución del sistema lineal. El modelo es aplicado a casos académicos y reales con la resolución de las ecuaciones estacionarias y transitorias. Los resultados del modelo conjunto son satisfactorios y son primeramente mostrados y discutidos para problemas de prueba donde se utilizan las ecuaciones estacionarias y transitorias. El modelo es finalmente aplicado a una sub-cuenca del Río Barcés obteniendo resultados muy interesantes.

[Resumo] Este traballo céntrase na modelaxe conxunta da hidrodinámica da auga en lámina libre e a auga subterránea a partir dun modelo numérico superficial-subterráneo que considere a interacción entre a auga superficial e subterránea. Un novo modelo hidrodinámico bidimensional foi desenrolado para a modelaxe acoplada dos fluxos superficial e subterráneo a través da resolución conxunta das ecuacións constitutivas mediante o Método dos Elementos Finitos. Este modelo acoplado resolve tanto as ecuacións de augas pouco profundas, que gobernan o fluxo en lámina libre, como a ecuación de continuidade promediada en profundidade particularizada para fluxo subterráneo, que goberna o movemento da auga a través de medios porosos. O modelo está formado por dous módulos (auga superficial e subterránea) previamente desenrolados polo autor, o cales foron validados de forma separada. Cada sub-modelo foi validado mediante a comparación dos resultados obtidos cos dispoñibles en algúns exemplos de referencia. Co uso destas ecuacións, o modelo desenrolado avalía o fluxo do fluído considerando o fluxo superficial e subterráneo aproximadamente da forma en que teñen lugar na natureza. O modelo simula a hidrodinámica da auga en concas naturais grazas a unha nova interface desenrolada que goberna a interacción entre o fluxo superficial e o subterráneo. A interface permite o intercambio de partículas de auga dende o fluxo superficial e dende o fluxo subterráneo. O modelo resolve ambas ecuacións alternativamente mediante o uso dun contorno móbil e un novo tratamento das condicións de contorno para este contorno que leva á conservación da masa. Tamén se proba outro tratamento das condicións de contorno que utiliza a coñecida condición de goteo. Este tratamento é considerado para o contorno móbil de modo que se garante a conservación da masa. O principal logro deste traballo ten que ver co acoplamento de ambos sub-modelos, permitindo un tratamento axeitado para a interface móbil que simula aceptablemente a interacción que ten lugar entre ambos fluxos en concas naturais. O modelo incorpora outras condicións para considerar a chuvia e os pozos de bombeo. Dende un punto de vista numérico, para as ecuacións de augas pouco profundas, o modelo incorpora diferentes procedementos para resolver o problema non linear, diferentes esquemas temporais e a técnica SUPG-PSPG con estabilización grad-div. Para construír o sistema alxébrico de ecuacións usouse un esquema implícito e un esquema semi-implícito. Para resolver as non linearidades dos sistemas resultantes para o esquema implícito usáronse os métodos iterativos de Picard e de Newton. De este modo, para reducir o gran tempo de computación necesario, pódense utilizar dous estratexias para o sub-modelo superficial que é o mais custoso. Se se empregan números de Reynolds pequenos, úsase o método de Newton. Noutro caso é necesario usar o método de estabilización. O sistema lineal para ambos submodelos é resolto mediante o método dos Gradientes BiConjugados Precondicionado que permite un almacenamento de matriz dispersa. O tempo de computación tamén é reducido cun almacenamento intelixente da matriz en vectores xunto cunha aproximación inicial apropiada e unha boa matriz de precondicionamento para o algoritmo iterativo de resolución do sistema.O modelo é aplicado a casos académicos e reais coa resolución das ecuacións estacionarias e transitorias. Os resultados do modelo conxunto son satisfactorios e son primeiramente mostrados e discutidos para problemas de proba onde se usan as ecuacións estacionarias e transitorias. O modelo é finalmente aplicado a unha sub-conca do Río Barcés obtendo resultados moi interesantes.

[Abstract] This work focuses on modelling the hydrodynamics of the free surface water and groundwater jointly through a numerical surface-groundwater model that considers the interaction between surface and groundwater. A new two-dimensional hydrodynamic model has been developed for the coupled modeling of the surface and groundwater flows through the joint resolution of the governing equations by the Finite Element Method. This coupled model solves both the full dynamic shallow water equations, which govern the free surface flow, and the depth-averaged continuity equation particularized for groundwater flow, that governs the motion of water through porous media. The model is based upon two different modules (surface and ground water) previously developed by the author, that have been validated separately. Each sub-model has been checked comparing its results with those of some benchmark problems. With the use of these equations, the developed software allows for the assessment of the fluid flow, taking into account both the surface and the groundwater flow approximately in the way they take place in nature. The model simulates the hydrodynamics of water in natural basins thanks to a newly developed interface that governs the interaction between the free surface and the groundwater flow. The interface allows for the exchange of water particles from the free surface and the groundwater flow. The model solves both equations alternatively by using a moving boundary and a new boundary condition treatment for this moving boundary which leads to the conservation of mass. Another boundary condition treatment that uses the known leakage condition is also tested. This is considered for the moving boundary guarantying the mass conservation. The main achievement of this work has dealt with the coupling of both sub-models, allowing for a proper moving interface treatment that simulates acceptably the interaction that takes place between both flows in natural watersheds. The model incorporates other conditions to consider the rainfall and the pumping wells. From a numerical point of view, for the shallow water equations it incorporates different procedures to solve the non-linear problem, different temporal schemes and the SUPG-PSPG technique with grad-div stabilization. An implicit scheme and a semi-implicit scheme have been used to build the algebraic system of equations and Picard’s and Newton’s iterative methods have been used to deal with the non-linearities of the resulting systems for the implicit scheme. Thus, in order to reduce the large amount of computational time being necessary, two strategies can be implemented for the more costly surface sub-model. If low Reynolds numbers are required, Newton’s method is used. In another case the stabilization method is necessary. The linear system is solved by the Preconditioned BiConjugate Gradient method for both sub-models that allows for sparse matrix storing. The computational time is also reduced with a smart vector-storage of the matrices together with a proper initial guess and a good preconditioning matrix for the iterative linear system solver. The model is applied for academic and real cases with the resolution of the unsteady and steady equations. The results of the model are successful and are firstly shown and discussed for test problems where the steady and unsteady equations are used. The model is finally applied on a sub-basin of the Barcés River, with very interesting results.